2023 IMO Shortlist N8

Let $\mathbb{Z}_{>0}$ be the set of positive integers. Determine all functions $f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}$ such that $$f^{b f(a)}(a+1)=(a+1) f(b)$$ holds for all $a, b \in \mathbb{Z}_{>0}$, where $f^{k}(n)=f(f(\cdots f(n) \cdots))$ denotes the composition of $f$ with itself $k$ times.

令 $\mathbb{Z}_{>0}$ 为正整数集合。确定所有函数 $f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}$，使得 $$f^{b f(a)}(a+1)=(a+1) f(b)$$ 对所有 $a, b \in \mathbb{Z}_{>0}$ 成立，其中 $f^{k}(n)=f(f(\cdots f(n) \cdots))$表示 $f$ 与其自身 $k$ 次的组合。