2005 IMO Shortlist S13

We denote by $\mathbb{R}^+$ the set of all positive real numbers.

Find all functions $f: \mathbb R^ + \rightarrow\mathbb R^ +$ which have the property:
$$f(x)f(y)=2f(x+yf(x))$$
for all positive real numbers $x$ and $y$ .

*Proposed by Nikolai Nikolov, Bulgaria*

我们用 $\mathbb{R}^+$ 表示所有正实数的集合。

查找所有具有以下属性的函数 $f: \mathbb R^ + \rightarrow\mathbb R^ +$：

$$f(x)f(y)=2f(x+yf(x))$$

对于所有正实数 $x$ 和 $y$ 。

*由保加利亚尼古拉·尼科洛夫提议*