2000 IMO Shortlist S18

In the plane we are given two circles intersecting at $X$ and $Y$ . Prove that there exist four points with the following property:

(P) For every circle touching the two given circles at $A$ and $B$ , and meeting the line $XY$ at $C$ and $D$ , each of the lines $AC$ , $AD$ , $BC$ , $BD$ passes through one of these points.

在平面中，我们有两个相交于 $X$ 和 $Y$ 的圆。证明存在四个具有以下性质的点：

(P) 对于在 $A$ 和 $B$ 处接触两个给定圆的每个圆，并在 $C$ 和 $D$ 处与线 $XY$ 相交，每条线 $AC$ 、 $AD$ 、 $BC$ 、 $BD$ 通过这些点之一。