2009 IMO Shortlist C2

ROU For any integer $n \geq 2$, let $N(n)$ be the maximal number of triples $\left(a_{i}, b_{i}, c_{i}\right), i=1, \ldots, N(n)$, consisting of nonnegative integers $a_{i}, b_{i}$ and $c_{i}$ such that the following two conditions are satisfied: (1) $a_{i}+b_{i}+c_{i}=n$ for all $i=1, \ldots, N(n)$, (2) If $i \neq j$, then $a_{i} \neq a_{j}, b_{i} \neq b_{j}$ and $c_{i} \neq c_{j}$. Determine $N(n)$ for all $n \geq 2$. Comment. The original problem was formulated for $m$-tuples instead for triples. The numbers $N(m, n)$ are then defined similarly to $N(n)$ in the case $m=3$. The numbers $N(3, n)$ and $N(n, n)$ should be determined. The case $m=3$ is the same as in the present problem. The upper bound for $N(n, n)$ can be proved by a simple generalization. The construction of a set of triples attaining the bound can be easily done by induction from $n$ to $n+2$.

ROU 对于任何整数 $n \geq 2$，设 $N(n)$ 为三元组的最大数量 $\left(a_{i}, b_{i}, c_{i}\right), i=1, \ldots, N(n)$，由非负整数 $a_{i}, b_{i}$ 和 $c_{i}$ 组成，满足以下两个条件： (1) $a_{i}+b_{i}+c_{i}=n$ 对于所有 $i=1, \ldots, N(n)$， (2) 如果 $i \neq j$，则 $a_{i} \neq a_{j}、b_{i} \neq b_{j}$ 和 $c_{i} \neq c_{j}$。确定所有 $n \geq 2$ 的 $N(n)$。评论。最初的问题是针对 $m$ 元组而不是三元组制定的。然后，在 $m=3$ 的情况下，数字 $N(m, n)$ 的定义与 $N(n)$ 类似。应确定数字 $N(3, n)$ 和 $N(n, n)$。 $m=3$ 的情况与当前问题相同。 $N(n, n)$ 的上限可以通过简单的概括来证明。通过从 $n$ 到 $n+2$ 的归纳可以轻松构建一组达到界限的三元组。