2006 IMO Shortlist N6

Let $a>b>1$ be relatively prime positive integers. Define the weight of an integer $c$, denoted by $w(c)$, to be the minimal possible value of $|x|+|y|$ taken over all pairs of integers $x$ and $y$ such that $$a x+b y=c .$$ An integer $c$ is called a local champion if $w(c) \geq w(c \pm a)$ and $w(c) \geq w(c \pm b)$. Find all local champions and determine their number.

令 $a>b>1$ 为互质正整数。将整数 $c$ 的权重定义为 $w(c)$ 表示的 $|x|+|y|$ 对所有整数对 $x$ 和 $y$ 的最小可能值，使得 $$a x+b y=c 。$$ 如果 $w(c) \geq w(c \pm a)$ 和 $w(c) \geq w(c \pm b)$ 则整数 $c$ 被称为本地冠军。找到所有本地冠军并确定他们的数量。