2015 IMO Shortlist N7

Let $\mathbb{Z}_{>0}$ denote the set of positive integers. For any positive integer $k$, a function $f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}$ is called $k$-good if $\operatorname{gcd}(f(m)+n, f(n)+m) \leq k$ for all $m \neq n$. Find all $k$ such that there exists a $k$-good function. (Canada)

设 $\mathbb{Z}_{>0}$ 表示正整数集合。对于任何正整数 $k$，如果 $\operatorname{gcd}(f(m)+n, f(n)+m) \leq k$ 对于所有 $m \neq n$，则函数 $f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}$ 被称为 $k$-good。找到所有 $k$ 使得存在 $k$-good 函数。 (加拿大)