2016 IMO Shortlist G3

Let $B=(-1,0)$ and $C=(1,0)$ be fixed points on the coordinate plane. A nonempty, bounded subset $S$ of the plane is said to be nice if (i) there is a point $T$ in $S$ such that for every point $Q$ in $S$, the segment $T Q$ lies entirely in $S$; and (ii) for any triangle $P_{1} P_{2} P_{3}$, there exists a unique point $A$ in $S$ and a permutation $\sigma$ of the indices $\{1,2,3\}$ for which triangles $A B C$ and $P_{\sigma(1)} P_{\sigma(2)} P_{\sigma(3)}$ are similar. Prove that there exist two distinct nice subsets $S$ and $S^{\prime}$ of the set $\{(x, y): x \geq 0, y \geq 0\}$ such that if $A \in S$ and $A^{\prime} \in S^{\prime}$ are the unique choices of points in (ii), then the product $B A \cdot B A^{\prime}$ is a constant independent of the triangle $P_{1} P_{2} P_{3}$.

令 $B=(-1,0)$ 和 $C=(1,0)$ 为坐标平面上的固定点。平面的非空有界子集 $S$ 被认为是好的，如果 (i) $S$ 中有一个点 $T$，使得对于 $S$ 中的每个点 $Q$，线段 $T Q$ 完全位于 $S$ 中； (ii) 对于任何三角形 $P_{1} P_{2} P_{3}$，$S$ 中存在唯一点 $A$ 以及索引 $\{1,2,3\}$ 的排列 $\sigma$，其中三角形 $A B C$ 和 $P_{\sigma(1)} P_{\sigma(2)} P_{\sigma(3)}$ 相似。证明集合 $\{(x, y) 存在两个不同的好子集$S$和$S^{\prime}$: x \geq 0, y \geq 0\}$ 使得如果 $A \in S$ 和 $A^{\prime} \in S^{\prime}$ 是 (ii) 中点的唯一选择，则乘积 $B A \cdot B A^{\prime}$ 是独立于三角形的常数$P_{1} P_{2} P_{3}$。