2021 IMO Shortlist G2

Let $A B C D$ be a convex quadrilateral circumscribed around a circle with centre $I$. Let $\omega$ be the circumcircle of the triangle $A C I$. The extensions of $B A$ and $B C$ beyond $A$ and $C$ meet $\omega$ at $X$ and $Z$, respectively. The extensions of $A D$ and $C D$ beyond $D$ meet $\omega$ at $Y$ and $T$, respectively. Prove that the perimeters of the (possibly self-intersecting) quadrilaterals $A D T X$ and $C D Y Z$ are equal.

设 $A B C D$ 是一个外切于圆心 $I$ 的凸四边形。令 $\omega$ 为三角形 $A C I$ 的外接圆。 $B A$ 和 $B C$ 超出 $A$ 和 $C$ 的扩展分别在 $X$ 和 $Z$ 处与 $\omega$ 相交。 $D$ 之外的 $A D$ 和 $C D$ 的扩展分别在 $Y$ 和 $T$ 处与 $\omega$ 相交。证明(可能自相交)四边形 $A D T X$ 和 $C D Y Z$ 的周长相等。