2013 IMO Shortlist N7

Let $\nu$ be an irrational positive number, and let $m$ be a positive integer. A pair $(a, b)$ of positive integers is called good if $$a\lceil b \nu\rceil-b\lfloor a \nu\rfloor=m .$$ A good pair $(a, b)$ is called excellent if neither of the pairs $(a-b, b)$ and $(a, b-a)$ is good. (As usual, by $\lfloor x\rfloor$ and $\lceil x\rceil$ we denote the integer numbers such that $x-1<\lfloor x\rfloor \leq x$ and $x \leq\lceil x\rceil<x+1$.) Prove that the number of excellent pairs is equal to the sum of the positive divisors of $m$.

设 $\nu$ 为无理正数，$m$ 为正整数。如果 $$ a\lceil b \nu\rceil-b\lfloor a \nu\rfloor=m ，则一对 $(a, b)$ 称为良好。 $$ 如果 $(a-b, b)$ 和 $(a, b-a)$ 都不是好的，那么一个好的 $(a, b)$ 被称为优秀。 (像往常一样，$\lfloor x\rfloor$ 和 $\lceil x\rceil$ 表示整数，使得 $x-1<\lfloor x\rfloor \leq x$ 和 $x \leq\lceil x\rceil<x+1$。)证明优秀对的数量等于 $m$ 的正因数之和。