2000 IMO Shortlist S03

The tangents at $B$ and $A$ to the circumcircle of an acute angled triangle $ABC$ meet the tangent at $C$ at $T$ and $U$ respectively. $AT$ meets $BC$ at $P$ , and $Q$ is the midpoint of $AP$ ; $BU$ meets $CA$ at $R$ , and $S$ is the midpoint of $BR$ . Prove that $\angle ABQ=\angle BAS$ . Determine, in terms of ratios of side lengths, the triangles for which this angle is a maximum.

锐角三角形 $ABC$ 的外接圆 $B$ 和 $A$ 处的切线分别与 $C$ 处的切线在 $T$ 和 $U$ 处相交。 $AT$ 在 $P$ 处与 $BC$ 相交，$Q$ 是 $AP$ 的中点； $BU$ 在 $R$ 处与 $CA$ 相交，$S$ 是 $BR$ 的中点。证明 $\angle ABQ=\angle BAS$ 。根据边长比确定该角度最大的三角形。