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番外 · 闲灯 / IMO Shortlist / A7 · algebra

2009 IMO Shortlist A7

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内容 2009 · 223
来源 context

题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

IMO Shortlist 2009 A7 algebra

JPN Find all functions ff from the set of real numbers into the set of real numbers which satisfy for all real x,yx, y the identity f(xf(x+y))=f(yf(x))+x2f(x f(x+y))=f(y f(x))+x^{2}

JPN 从实数集合中找到满足所有实数 x,yx, y 恒等式 f(xf(x+y))=f(yf(x))+x2f(x f(x+y))=f(y f(x))+x^{2} 的所有函数 ff

提示 1

先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。

提示 2

寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。

提示 3

最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。

完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2009 年 IMO Shortlist A7 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？

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