2022 IMO Shortlist A7

For a positive integer $n$ we denote by $s(n)$ the sum of the digits of $n$. Let $P(x)=$ $x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ be a polynomial, where $n \geq 2$ and $a_{i}$ is a positive integer for all $0 \leq i \leq n-1$. Could it be the case that, for all positive integers $k, s(k)$ and $s(P(k))$ have the same parity? (Belarus)

对于正整数 $n$，我们用 $s(n)$ 表示 $n$ 的数字之和。设 $P(x)=$ $x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ 为多项式，其中 $n \geq 2$ 和 $a_{i}$ 为所有 $0 \leq i \leq n-1$ 的正整数。对于所有正整数 $k、s(k)$ 和 $s(P(k))$ 是否具有相同的奇偶校验？ (白俄罗斯)