2024 IMO Shortlist A7

Let $\mathbb{Q}$ be the set of rational numbers. Let $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ be a function such that the following property holds: for all $x,y\in\mathbb{Q}$,

$$

f(x+f(y))=f(x)+y

$$

or

$$

f(f(x)+y)=x+f(y).

$$

Determine the maximum possible number of elements of $\{f(x)+f(-x)\mid x\in\mathbb{Q}\}$.

设 $\mathbb{Q}$ 为有理数集。设 $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ 为一个函数，满足对所有 $x,y\in\mathbb{Q}$，

$$

f(x+f(y))=f(x)+y

$$

或

$$

f(f(x)+y)=x+f(y)。

$$

求集合 $\{f(x)+f(-x)\mid x\in\mathbb{Q}\}$ 的元素个数的最大可能值。