2014 IMO Shortlist G4

Consider a fixed circle $\Gamma$ with three fixed points $A, B$, and $C$ on it. Also, let us fix a real number $\lambda \in(0,1)$. For a variable point $P \notin\{A, B, C\}$ on $\Gamma$, let $M$ be the point on the segment $C P$ such that $C M=\lambda \cdot C P$. Let $Q$ be the second point of intersection of the circumcircles of the triangles $A M P$ and $B M C$. Prove that as $P$ varies, the point $Q$ lies on a fixed circle. (United Kingdom)

考虑一个固定圆 $\Gamma$，其上有三个固定点 $A、B$ 和 $C$。另外，让我们确定一个实数 $\lambda \in(0,1)$。对于$\Gamma$上的变量点$P \notin\{A, B, C\}$，令$M$为线段$C P$上的点，使得$C M=\lambda \cdot C P$。令 $Q$ 为三角形 $A M P$ 和 $B M C$ 外接圆的第二个交点。证明当 $P$ 变化时，点 $Q$ 位于固定圆上。 (英国)