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番外 · 闲灯 / IMO Shortlist / S07 · inequality

2003 IMO Shortlist S07

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内容 2003 · 70
来源 context

题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

IMO Shortlist 2003 S07 inequality

Let R+\mathbb{R}^+ be the set of all positive real numbers. Find all functions f:R+→R+f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ that satisfy the following conditions:

- f(xyz)+f(x)+f(y)+f(z)=f(xy)f(yz)f(zx)f(xyz)+f(x)+f(y)+f(z)=f(\sqrt{xy})f(\sqrt{yz})f(\sqrt{zx}) for all x,y,z∈R+x,y,z\in\mathbb{R}^+ ;

- f(x)<f(y)f(x)<f(y) for all 1≤x<y1\le x<y .

*Proposed by Hojoo Lee, Korea*

令 R+\mathbb{R}^+ 为所有正实数的集合。查找满足以下条件的所有函数 f:R+→R+f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+：

- f(xyz)+f(x)+f(y)+f(z)=f(xy)f(yz)f(zx)f(xyz)+f(x)+f(y)+f(z)=f(\sqrt{xy})f(\sqrt{yz})f(\sqrt{zx}) 对于所有 x,y,z∈R+x,y,z\in\mathbb{R}^+ ；

- f(x)<f(y)f(x)<f(y) 对于所有 1≤x<y1\le x<y 。

*由韩国 Hojoo Lee 提出*

提示 1

先猜等号形状，再看同次性、归一化和每一项的量纲。

提示 2

试着把式子拆成均值、柯西、凸性、重排或切线法可处理的块。

提示 3

最后检查等号条件和边界情形是否都与题设兼容。

完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2003 年 IMO Shortlist S07 可先归入不等式：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？

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