2024 IMO Shortlist A2

Let $n$ be a positive integer. Find the minimum possible value of

$$

S=2^0x_0^2+2^1x_1^2+\cdots+2^nx_n^2,

$$

where $x_0,x_1,\ldots,x_n$ are nonnegative integers such that $x_0+x_1+\cdots+x_n=n$.

设 $n$ 为正整数。求

$$

S=2^0x_0^2+2^1x_1^2+\cdots+2^nx_n^2

$$

的最小可能值，其中 $x_0,x_1,\ldots,x_n$ 是非负整数，且 $x_0+x_1+\cdots+x_n=n$。