2011 IMO Shortlist N4

For each positive integer $k$, let $t(k)$ be the largest odd divisor of $k$. Determine all positive integers $a$ for which there exists a positive integer $n$ such that all the differences $$t(n+a)-t(n), \quad t(n+a+1)-t(n+1), \quad \ldots, \quad t(n+2 a-1)-t(n+a-1)$$ are divisible by 4 .

对于每个正整数 $k$，令 $t(k)$ 为 $k$ 的最大奇数除数。确定存在正整数 $n$ 的所有正整数 $a$ ，使得所有差值 $$t(n+a)-t(n), \quad t(n+a+1)-t(n+1), \quad \ldots, \quad t(n+2 a-1)-t(n+a-1)$$ 都能被 4 整除。