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番外 · 闲灯 / IMO Shortlist / S01 · functional-equations

2000 IMO Shortlist S01

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内容 2000 · 01
来源 context

题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

IMO Shortlist 2000 S01 functional-equations

Find all pairs of functions f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R , g:R→Rg : \mathbb R \to \mathbb R such that f(x+g(y))=xf(y)−yf(x)+g(x)for all x,y∈R.f \left( x + g(y) \right) = xf(y) - y f(x) + g(x) \quad\text{for all } x, y\in\mathbb{R}.

找到所有函数对 f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R , g:R→Rg : \mathbb R \to \mathbb R 使得 f(x+g(y))=xf(y)−yf(x)+g(x)对于所有 x,y∈R.f \left( x + g(y) \right) = xf(y) - y f(x) + g(x) \quad\text{对于所有 } x, y\in\mathbb{R}.

提示 1

先代入 0、1、相等变量或会让一边简化的值。

提示 2

检查方程是否强迫单调、周期、单射、满射或常值。

提示 3

把递推链闭合，最后回代验证所有解。

完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2000 年 IMO Shortlist S01 可先归入函数方程：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？

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