灯下 登录
番外 · 闲灯 / IMO Shortlist / A3 · algebra

2020 IMO Shortlist A3

书架 上一节 下一节
内容 2020 · 546
来源 context

题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

IMO Shortlist 2020 A3 algebra

Suppose that a,b,c,da, b, c, d are positive real numbers satisfying (a+c)(b+d)=ac+bd(a+c)(b+d)=a c+b d. Find the smallest possible value of ab+bc+cd+da\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}

假设a、b、c、da、b、c、d是满足(a+c)(b+d)=ac+bd(a+c)(b+d)=a c+b d的正实数。求 ab+bc+cd+da\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} 的最小可能值

提示 1

先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。

提示 2

寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。

提示 3

最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。

完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2020 年 IMO Shortlist A3 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？

我的笔记 自动保存