2022 IMO Shortlist A6

Let $\mathbb{R}$ be the set of real numbers. We denote by $\mathcal{F}$ the set of all functions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ such that $$f(x+f(y))=f(x)+f(y)$$ for every $x, y \in \mathbb{R}$. Find all rational numbers $q$ such that for every function $f \in \mathcal{F}$, there exists some $z \in \mathbb{R}$ satisfying $f(z)=q z$. (Indonesia)

令 $\mathbb{R}$ 为实数集。我们用 $\mathcal{F}$ 表示所有函数 $f 的集合：\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$，使得 $$f(x+f(y))=f(x)+f(y)$$ 对于每个 $x, y \in \mathbb{R}$。找到所有有理数 $q$，使得对于每个函数 $f \in \mathcal{F}$，都存在一些 $z \in \mathbb{R}$ 满足 $f(z)=q z$。 (印度尼西亚)