2016 IMO Shortlist C8

Let $n$ be a positive integer. Determine the smallest positive integer $k$ with the following property: it is possible to mark $k$ cells on a $2 n \times 2 n$ board so that there exists a unique partition of the board into $1 \times 2$ and $2 \times 1$ dominoes, none of which contains two marked cells.

令 $n$ 为正整数。使用以下属性确定最小正整数 $k$：可以在 $2 n \times 2 n$ 板上标记 $k$ 个单元，以便将板唯一划分为 $1 \times 2$ 和 $2 \times 1$ 多米诺骨牌，其中没有一个包含两个标记的单元。