2002 IMO Shortlist S05

Let two circles $S_{1}$ and $S_{2}$ meet at the points $A$ and $B$ . A line through $A$ meets $S_{1}$ again at $C$ and $S_{2}$ again at $D$ . Let $M$ , $N$ , $K$ be three points on the line segments $CD$ , $BC$ , $BD$ respectively, with $MN$ parallel to $BD$ and $MK$ parallel to $BC$ . Let $E$ and $F$ be points on those arcs $BC$ of $S_{1}$ and $BD$ of $S_{2}$ respectively that do not contain $A$ . Given that $EN$ is perpendicular to $BC$ and $FK$ is perpendicular to $BD$ prove that $\angle EMF=90^{\circ}$ .

让两个圆 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 在点 $A$ 和 $B$ 处相交。穿过 $A$ 的线在 $C$ 处再次与 $S_{1}$ 相遇，并在 $D$ 处再次与 $S_{2}$ 相遇。设$M$、$N$、$K$分别为线段$CD$、$BC$、$BD$上的三个点，其中$MN$平行于$BD$，$MK$平行于$BC$。令 $E$ 和 $F$ 分别为 $S_{1}$ 的 $BC$ 和 $S_{2}$ 的 $BD$ 上不包含 $A$ 的点。假设 $EN$ 垂直于 $BC$ 并且 $FK$ 垂直于 $BD$ 证明 $\angle EMF=90^{\circ}$ 。