题面 Putnam · 1990 · P7
来源 context
题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/1990.pdf。
Find all real-valued continuously differentiable functions
on the real line such that for all ,
$$
(f(x))^2 = \int_0^x [(f(t))^2 + (f'(t))^2]\,dt + 1990.
$$
查找所有实值连续可微函数
on the real line such that for all ,
$$
(f(x))^2 = \int_0^x [(f(t))^2 + (f'(t))^2]\,dt + 1990。
$$
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先代入 0、1、相等变量或会让一边简化的值。
提示 2
检查方程是否强迫单调、周期、单射、满射或常值。
提示 3
把递推链闭合，最后回代验证所有解。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。1990 年 Putnam B1 可先归入函数方程：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？