1994 Putnam A5

Let $(r_n)_{n \geq 0}$ be a sequence of positive real numbers such that

$\lim_{n \to \infty} r_n = 0$. Let $S$ be the set of numbers representable

as a sum

$$

r_{i_1} + r_{i_2} + \cdots + r_{i_{1994}},

$$

with $i_1 < i_2 < \cdots < i_{1994}$. Show that every nonempty interval

$(a,b)$ contains a nonempty subinterval $(c,d)$ that does not intersect $S$.

令 $(r_n)_{n \geq 0}$ 为正实数序列，使得

$\lim_{n \to \infty} r_n = 0$。令 $S$ 为可表示的数字集

作为总和

$$

r_{i_1} + r_{i_2} + \cdots + r_{i_{1994}},

$$

其中 $i_1 < i_2 < \cdots < i_{1994}$。证明每个非空区间

$(a,b)$ 包含一个不与 $S$ 相交的非空子区间 $(c,d)$。