2001 Putnam B4

Let $S$ denote the set of rational numbers different from

$\{-1,0,1\}$. Define $f:S\rightarrow S$ by $f(x)=x-1/x$. Prove

or disprove that

$$\bigcap_{n=1}^\infty f^{(n)}(S) = \emptyset,$$

where $f^{(n)}$ denotes $f$ composed with itself $n$ times.

令 $S$ 表示有理数集合，不同于

$\{-1,0,1\}$。通过 $f(x)=x-1/x$ 定义 $f:S\rightarrow S$。证明

或反驳这一点

$$\bigcap_{n=1}^\infty f^{(n)}(S) = \emptyset,$$

其中 $f^{(n)}$ 表示 $f$ 与其自身组合 $n$ 次。