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番外 · 题谱 · 2009 · P4

2009 Putnam A4

代数 · P1/P4 · 起手题

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题面 Putnam · 2009 · P4
来源 context

题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2009.pdf。

Putnam 2009 A4 algebra

Let SS be a set of rational numbers such that

(a) 0∈S0 \in S;

(b) If x∈Sx \in S then x+1∈Sx+1\in S and x−1∈Sx-1\in S; and

(c) If x∈Sx\in S and x∉{0,1}x\not\in\{0,1\}, then 1x(x−1)∈S\frac{1}{x(x-1)}\in S.

Must SS contain all rational numbers?

令 SS 为一组有理数，使得

(a) $0 \新元；

(b) 如果 x∈Sx \in S 则 x+1∈Sx+1\in S 和 x−1∈Sx-1\in S；和

(c) 如果 x∈Sx\in S 且 x∉{0,1}x\not\in\{0,1\}，则 1x(x−1)∈S\frac{1}{x(x-1)}\in S。

SS 必须包含所有有理数吗？

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。

提示 2

寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。

提示 3

最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。

解答 folded
完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2009 年 Putnam A4 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside
闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？