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番外 · 题谱 · 2010 · P11

2010 Putnam B5

函数方程 · P3/P6 · 压轴题

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题面 Putnam · 2010 · P11
来源 context

题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2010.pdf。

Putnam 2010 B5 functional-equations

Is there a strictly increasing function f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} such that f′(x)=f(f(x))f'(x) = f(f(x)) for all xx?

是否存在严格递增函数 f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} 使得所有 xx 的 f′(x)=f(f(x))f'(x) = f(f(x)) ？

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先代入 0、1、相等变量或会让一边简化的值。

提示 2

检查方程是否强迫单调、周期、单射、满射或常值。

提示 3

把递推链闭合，最后回代验证所有解。

解答 folded
完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2010 年 Putnam B5 可先归入函数方程：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside
闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？