2012 Putnam B1

Let $S$ be a class of functions from $[0, \infty)$ to $[0, \infty)$ that satisfies:

(i)
The functions $f_1(x) = e^x - 1$ and $f_2(x) = \ln(x+1)$ are in $S$;

(ii)
If $f(x)$ and $g(x)$ are in $S$, the functions $f(x) + g(x)$ and $f(g(x))$ are in $S$;

(iii)
If $f(x)$ and $g(x)$ are in $S$ and $f(x) \geq g(x)$ for all $x \geq 0$, then the function
$f(x) - g(x)$ is in $S$.

Prove that if $f(x)$ and $g(x)$ are in $S$, then the function $f(x) g(x)$ is also in $S$.

令 $S$ 为从 $[0, \infty)$ 到 $[0, \infty)$ 的一类函数，满足：

(一)
函数 $f_1(x) = e^x - 1$ 和 $f_2(x) = \ln(x+1)$ 位于 $S$ 中；

(二)
如果$f(x)$和$g(x)$在$S$中，则函数$f(x) + g(x)$和$f(g(x))$在$S$中；

(三)
如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 位于 $S$ 中，且 $f(x) \geq g(x)$ 对于所有 $x \geq 0$，则该函数
$f(x) - g(x)$ 位于 $S$ 中。

证明如果$f(x)$和$g(x)$在$S$中，则函数$f(x)g(x)$也在$S$中。