题面 Putnam · 2012 · P11
来源 context
题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2012.pdf。
Prove that, for any two bounded functions ,
there exist functions such that, for every ,
$$
\sup_{s \in \RR} (g_1(s)^x g_2(s)) = \max_{t \in \RR} (x h_1(t) + h_2(t)).
$$
证明，对于任意两个有界函数 ，
存在函数 这样，对于每个 ，
$$
\sup_{s \in \RR} (g_1(s)^x g_2(s)) = \max_{t \in \RR} (x h_1(t) + h_2(t))。
$$
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先猜等号形状，再看同次性、归一化和每一项的量纲。
提示 2
试着把式子拆成均值、柯西、凸性、重排或切线法可处理的块。
提示 3
最后检查等号条件和边界情形是否都与题设兼容。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2012 年 Putnam B5 可先归入不等式：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？