题面 Putnam · 2021 · P8
来源 context
题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2021.pdf。
Determine the maximum value of the sum
$$
S = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} (a_1 a_2 \cdots a_n)^{1/n}
$$
over all sequences of nonnegative real numbers satisfying
$$
\sum_{k=1}^\infty a_k = 1.
$$
确定总和的最大值
$$
S = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} (a_1 a_2 \cdots a_n)^{1/n}
$$
在满足以下条件的非负实数的所有序列
$$
\sum_{k=1}^\infty a_k = 1。
$$
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先猜等号形状，再看同次性、归一化和每一项的量纲。
提示 2
试着把式子拆成均值、柯西、凸性、重排或切线法可处理的块。
提示 3
最后检查等号条件和边界情形是否都与题设兼容。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2021 年 Putnam B2 可先归入不等式：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？