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番外 · 题谱 · 1980 · P5

1980 USAMO 第 5 题

代数 · P2/P5 · 中段题

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题面 USAMO · 1980 · P5
来源 context

题面据 USAMO 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

USAMO 1980 P5 algebra

If x,y,zx, y, z are reals such that 0≤x,y,z≤10\le x, y, z \le 1, show that xy+z+1+yz+x+1+zx+y+1≤1−(1−x)(1−y)(1−z)\frac{x}{y + z + 1} + \frac{y}{z + x + 1} + \frac{z}{x + y + 1} \le 1 - (1 - x)(1 - y)(1 - z)

如果 x,y,zx, y, z 是实数，使得 0≤x,y,z≤10\le x, y, z \le 1，则证明 xy+z+1+yz+x+1+zx+y+1≤1−(1−x)(1−y)(1−z)\frac{x}{y + z + 1} + \frac{y}{z + x + 1} + \frac{z}{x + y + 1} \le 1 - (1 - x)(1 - y)(1 - z)

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。

提示 2

寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。

提示 3

最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。

解答 folded
完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。1980 年 USAMO P5 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside
闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？