1987 USAMO 第 5 题

$a_1, a_2, \cdots, a_n$ is a sequence of 0's and 1's. T is the number of triples $(a_i, a_j, a_k)$ with $i<j<k$ which are not equal to (0, 1, 0) or (1, 0, 1). For $1\le i\le n$, $f(i)$ is the number of $j<i$ with $a_j = a_i$ plus the number of $j>i$ with $a_j\neq a_i$. Show that $T=\sum_{i=1}^n f(i)\cdot\left(\frac{f(i)-1}2\right)$. If n is odd, what is the smallest value of T?

$a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是 0 和 1 的序列。 T 是三元组 $(a_i, a_j, a_k)$ 的数量，其中 $i<j<k$ 不等于 (0, 1, 0) 或 (1, 0, 1)。对于$1\le i\le n$，$f(i)$是$a_j = a_i$的$j<i$的数量加上$a_j\neq a_i$的$j>i$的数量。证明 $T=\sum_{i=1}^n f(i)\cdot\left(\frac{f(i)-1}2\right)$。如果n是奇数，T的最小值是多少？