1989 USAMO 第 5 题

Let $u$ and $v$ be real numbers such that

$$(u + u^2 + u^3 + \cdots + u^8) + 10u^9 = (v + v^2 + v^3 + \cdots + v^{10}) + 10v^{11} = 8.$$

Determine, with proof, which of the two numbers, $u$ or $v$, is larger.

令 $u$ 和 $v$ 为实数，使得

$$(u + u^2 + u^3 + \cdots + u^8) + 10u^9 = (v + v^2 + v^3 + \cdots + v^{10}) + 10v^{11} = 8。$$

通过证明确定两个数字 $u$ 或 $v$ 中哪一个更大。