灯下 登录
番外 · 题谱 · 2001 · P3

2001 USAMO 第 3 题

代数 · P3/P6 · 压轴题

同年题目 换一题 题谱首页 打开陪读页
题面 USAMO · 2001 · P3
来源 context

题面据 USAMO 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

USAMO 2001 P3 algebra

Let a,b,c≥0a, b, c \geq 0 and satisfy

a2+b2+c2+abc=4.a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4.

Show that

$$

0 \le ab + bc + ca - abc \leq 2.

$$

令 a,b,c≥0a, b, c \geq 0 并满足

a2+b2+c2+abc=4。a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4。

表明

0≤ab+bc+ca−abc≤2.0 \le ab + bc + ca - abc \leq 2.

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。

提示 2

寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。

提示 3

最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。

解答 folded
完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2001 年 USAMO P3 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside
闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？