内容 关联与次序 · 05
底本定位
《几何基础》把欧氏几何拆成若干公理组。本单元按公理依赖读，不把图形直觉当作未说明的前提。
Pasch 公理 的读法是先列允许使用的公理，再判断结论是否由这些公理推出。
命题
In Hilbert's geometry, pasch 公理 must be justified by the stated axiom groups rather than by the picture alone.
在希尔伯特几何中，“Pasch 公理”必须由已声明公理组支持，不能只靠图形直觉。
Pasch 公理 公理依赖 table
古典词 | 现代读法 | 本单元用途 |
|---|---|---|
| incidence | 关联 | 说明对象相互属于 |
| order | 次序 | 说明中间、内外和分离 |
| congruence | 合同 | 说明长度和角可比较 |
Pasch 公理 公理依赖 的术语对照表。
读法例 worked example
题
若要证明一条线穿过三角形的一边后还会遇到另一边，先问这是不是次序公理，而不是画图说显然。
解
这类结论依赖 Pasch 型公理。图形可以帮助想象，但证明必须回到“中间关系”和“平面分离”的公理表述。
分步证明Step-by-step proof
1 / 3列出当前命题允许使用的公理组。
把图上看见的关系改写成公理语言。
检查结论是否需要额外连续性、平行性或模型假设。
历史位置 context
本单元把欧氏几何和非欧几何专题接起来：第五公设不再只是一个难证命题，而是公理系统中的可替换接口。
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