内容 连续与模型 · 17
底本定位
《几何基础》把欧氏几何拆成若干公理组。本单元按公理依赖读，不把图形直觉当作未说明的前提。
完备性 的读法是先列允许使用的公理，再判断结论是否由这些公理推出。
命题
In Hilbert's geometry, 完备性 must be justified by the stated axiom groups rather than by the picture alone.
在希尔伯特几何中，“完备性”必须由已声明公理组支持，不能只靠图形直觉。
完备性 公理依赖 table
古典词 | 现代读法 | 本单元用途 |
|---|---|---|
| incidence | 关联 | 说明对象相互属于 |
| order | 次序 | 说明中间、内外和分离 |
| congruence | 合同 | 说明长度和角可比较 |
完备性 公理依赖 的术语对照表。
读法例 worked example
题
若要证明一条线穿过三角形的一边后还会遇到另一边，先问这是不是次序公理，而不是画图说显然。
解
这类结论依赖 Pasch 型公理。图形可以帮助想象，但证明必须回到“中间关系”和“平面分离”的公理表述。
分步证明Step-by-step proof
1 / 3列出当前命题允许使用的公理组。
把图上看见的关系改写成公理语言。
检查结论是否需要额外连续性、平行性或模型假设。
历史位置 context
本单元把欧氏几何和非欧几何专题接起来：第五公设不再只是一个难证命题，而是公理系统中的可替换接口。
戴德金入口 context
希尔伯特连续性与完备性公理需要一个没有缺口的数系背景；戴德金《数与连续性》给出算术化入口，见 dedekind-cuts/overview。
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