《几何基础》把欧氏几何拆成若干公理组。本单元按公理依赖读，不把图形直觉当作未说明的前提。
公理化入口 的读法是先列允许使用的公理，再判断结论是否由这些公理推出。
Through any two distinct points there is a line, and this line is uniquely determined by those points.
任意两个不同点确定一条直线，而且这条直线是唯一的。
Given a line and a point not on it, there is at most one line through the point that does not meet the given line.
给定一直线及其外一点，过该点至多有一条直线不与原直线相交。
In Hilbert's geometry, 公理化入口 must be justified by the stated axiom groups rather than by the picture alone.
在希尔伯特几何中，“公理化入口”必须由已声明公理组支持，不能只靠图形直觉。
古典词 | 现代读法 | 本单元用途 |
|---|---|---|
| incidence | 关联 | 说明对象相互属于 |
| order | 次序 | 说明中间、内外和分离 |
| congruence | 合同 | 说明长度和角可比较 |
公理化入口 公理依赖 的术语对照表。
若要证明一条线穿过三角形的一边后还会遇到另一边，先问这是不是次序公理，而不是画图说显然。
这类结论依赖 Pasch 型公理。图形可以帮助想象，但证明必须回到“中间关系”和“平面分离”的公理表述。
列出当前命题允许使用的公理组。
把图上看见的关系改写成公理语言。
检查结论是否需要额外连续性、平行性或模型假设。
本单元把欧氏几何和非欧几何专题接起来：第五公设不再只是一个难证命题，而是公理系统中的可替换接口。
希尔伯特公理化方法在二十世纪初继续进入数学基础问题。若要从实数、集合、罗素悖论、哥德尔和图灵看这条后续线，见 math-meta/topic-foundations-crisis；康托尔集合论原作入口见 cantor-set-theory/overview，集合论专题导读见 math-meta/topic-set-theory-birth。
希尔伯特几何基础是公理化运动深化 math-meta/topic-axiomatic-movement-deepening 的现代节点，也回看非欧几何史 math-meta/topic-noneuclidean-history；罗巴切夫斯基、鲍耶、黎曼原作线见 non-euclidean-originals/lobachevsky-overview。