For a finite series A, B, C, ... Z, each four times the next, A+B+C+...+Z+1/3 Z equals 4/3 A.
对有限面积列 A, B, C, ... Z，若每项都是后一项的四倍，则 A+B+C+...+Z+Z/3 = 4A/3。
A, B, C, D 表示逐层补入的三角形总面积；每一层都是上一层的四分之一，有限求和以后再进入穷竭论证。
Let A be the first inscribed triangle and let each following layer be one fourth of the preceding layer.
令 A 为第一个内接三角形面积，后面每一层都是前一层的四分之一。
The construction of vertices in the remaining segments produces exactly this decreasing sequence.
在余下弓形中继续取顶点作三角形，正好产生这个递减面积列。
For a finite last term Z, adding one third of Z completes the identity A+B+...+Z+Z/3 = 4A/3.
对有限末项 Z，再补上 Z 的三分之一，就得到 A+B+...+Z+Z/3 = 4A/3。
This prepares the exhaustion step: a finite sum is controlled before any limiting language is used.
这一步为穷竭法做准备：先控制有限和，再避免直接说“无限求和”。
Today this is the geometric series A(1+1/4+1/16+...), but Archimedes keeps the finite remainder visible.
今天会把它写成等比级数 A(1+1/4+1/16+...)；阿基米德则始终保留有限余项。
不看完整证明，说明“命题 23 · 四分之一递减列的有限求和”这一命题的已知、要证和关键比较对象。
看一个提示
- 先把几何对象命名，再说它们之间要比较什么量。
- 穷竭法命题要特别留意“若大于”和“若小于”两边。