内容 垛积术 · 02
原文算法定位
垛积术先问：逐层排成方形的垛，累到第 n 层，共有多少枚？
算法表 table
层数 n | 平方垛积 S(n) | 现代闭式 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 5 | 2·3·5/6 |
| 3 | 14 | 3·4·7/6 |
| n | Σk² | n(n+1)(2n+1)/6 |
平方垛
现代符号还原 现代白话辅助
设第 k 层为 k²，垛积就是 S(n)=Σk²。用差分看，三阶差分为常数，所以闭式是三次多项式。
分步证明Step-by-step proof
1 / 3逐层列出 1,4,9,...，先求累积数列。
累积数列 1,5,14,30 的三阶差分稳定，说明可用三次式表示。
现代闭式 n(n+1)(2n+1)/6 是对垛积术的压缩写法。
古今对照 context
平方垛是从古典堆垛到现代离散积分的入口；它和杨辉三角第三斜列的累加规律相连，也可与帕斯卡恒等式对照。
我的笔记 自动保存