内容 垛积术 · 03
原文算法定位
三角垛把每层排成三角形：第一层一枚，第二层三枚，第三层六枚，逐层累加。
算法表 table
n | 三角数 T_n | 三角垛积 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 |
| 3 | 6 | 10 |
| n | n(n+1)/2 | n(n+1)(n+2)/6 |
三角垛
现代符号还原 现代白话辅助
第 k 层是 T_k=k(k+1)/2，总垛积 ΣT_k 等于组合数 C(n+2,3)。
分步证明Step-by-step proof
1 / 3把每层先看成三角数，而不是直接求总数。
三角数的累加给出四面体数，也就是 C(n+2,3)。
这正是杨辉三角沿斜线累加的一个基本例子。
古今对照 context
三角垛显示“从二维层到三维垛”的思想。现代组合学会把它写成 hockey-stick identity，课程中用杨辉三角斜线来读。
我的笔记 自动保存