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数学 / 数书九章 / 大衍类数值实例

大衍例 2 · 求一乘率

定母右行,其左上副次,更不大衍寄數左行,只以左下與右下衍之。凡奇數得一者,便爲乘率。今左下衍是三,乃與本母四,用大衍求一術入之,列衍奇三於右上,定母四於右下,立天元一於左上,空其左下。

先以右上少數三,除右下多數四,得一爲商,以商一乘左上天元一,只得一,歸左下,其右下餘一。

次以右下少數一,除右上多數三,須使右上必奇一算乃止。遂於右行最上商二,以除右衍必奇一。乃以上商命右下定餘一除之,右衍餘一。

次以商二與左下歸數相乘,得二,加入左上天元一內,共得三。

爲乘率,今騐右上衍餘,得一當止。乃以左上三爲乘率,與前三者乘率各一,與衍定圖衍數對列之,通計三行。

以乘率對乘左行畢,左上得一十二,左副得一十二,左次得四,左下得九,皆曰泛用數。

或三處同類,以二約衍母,于三處損之。

位\nColumn

定母 / 元数\nModulus

奇 / 余\nResidue

乘率 / 用数\nMultiplier

33
41
乘率--3

大衍数据

奇三 定四 商一 商二
fig-dayan-prob-002

大衍例 2 · 求一乘率的筹算列位示意。

这里就是扩展欧几里得算法的古代筹算版:求 t,使 3t ≡ 1 (mod 4)。最后 t = 3。

已知奇数 3、定母 4,求乘率。

4 = 1×3 + 1,3 = 3×1。回代可知 3×3 = 9 ≡ 1 (mod 4),所以乘率为 3。