問：有兩尖田一段，其尖長不等，兩大斜三十九步，兩小斜二十五步，中廣三十步。欲知其積幾何？尖田步。
荅曰：田積八百四十歩。
術曰：以少廣求之，翻法入之。置半廣自乘，爲半羃，與小斜羃相減相乘，爲小率，以半羃與大斜羃相減相乘，爲大率，以二率相減，餘自乘爲實，併二率，倍之，爲從上廉，以一爲益隅，開翻法三乘方，得積。
草曰：置廣三十步，以半之，得一十五，以自乘得二百二十五，爲半羃，以小斜二十五步自乘，得六百二十五，爲小斜羃，與半羃相減，餘四百，與半羃二百二十五相乘，得九萬步，爲小率。置大斜三十九步，自乘，得一千五百二十一，爲大斜羃，與半羃二百二十五相減，餘一千二百九十六，與半羃二百二十五相乘，得二十九萬一千六百，爲大率。以小率九萬減大率，餘二十萬一千六百，自乘，得四百六億四千二百五十六萬，爲實。以小率九萬併大率二十九萬一千六百，得三十八萬一千六百，倍之得七十六萬三千二百，爲從上廉，以一爲益隅，開玲瓏翻法三乘方步法：乃以從廉超一位，益隅超三位，約商得十。今再超進，乃商置百，其從上廉爲七十六億三千二百萬，其益隅爲一億，約實。
置商八百，爲定商，以商生益隅，得八億，爲益下廉，又以商生下廉，得六十四億，爲益上廉，與從上廉七十六億三千二百萬相消從上廉，餘十二億三千二百萬。又與商相生，得九十八億五千六百萬，爲從方，又與商相生，得七百八十八億四千八百萬，爲正積，與元實四百六億四千二百五十六萬相消正積，餘三百八十二億五百四十四萬，爲正實。
又以益隅一億與商相生，得八億，增入益下廉爲一十六億。又以益下廉與商相生，得一百二十八億，爲益上廉。乃以益上廉與從上廉一十二億三千二百萬相消，餘一百一十五億六千八百萬，爲益上廉。又與商相生，得九百二十五億四千四百萬，爲益方，與從方九十八億五千六百萬相消，益方餘八百二十六億八千八百萬，爲益方。又以商生益隅一億得八億，增入益下廉，得二十四億。又以商相生，得一百九十二億，入益上廉，得三百七億六千八百萬，爲益上廉。又以商生益隅一億得八億，入益下廉，得三十二億畢。其益方一退爲八十二億六千八百八十萬，益上廉，再退得三億七百六十八萬，益下廉，三退得三百二十萬，益隅，四退爲一萬，畢，乃約正實，續置商四十步，與益隅一萬相生，得四萬，入益下廉，爲三百二十四萬。
又與商相生，得一千二百九十六萬，八益上廉內爲三億二千六十四萬。
又與商相生，得一十二億八千二百五十六萬，入從方內，爲九十五億五千二百三十六萬。乃命上續商四十，除實，適盡，所得八百四十步，爲田積。今列求率開方圖于后。
術曰：商常爲正，實常爲負。從常爲正，益常爲負。
上廉超一位，益隅超三位，商數進一位。
以負實消正積，其積乃有餘，爲正實，謂之換骨。
以商生隅，入下廉，一變。
以商生下廉，入上廉，內相消。
以正負上，廉相消。
以商生上廉，入方内相消。
以正負方相消。
方一退上廉，二退下廉，三退隅，四退商，續置，四變。
以方約實續商，置四十生隅，入下廉内。
以續商四十，命方法，除實適盡。
所得商數八百四十步，爲田積。
已上係開三乘方翻法圖，後篇效此。〇。
一位開盡者，不用翻法。鄒安鬯日術解見札記。
鄒安鬯曰：玲瓏。謂方廉隅、正負相問也。
鄒安鬯曰：此開方古法之僅留於今者。
正负开三乘方的筹算位次示意。
位\nColumn | 定母 / 元数\nModulus | 奇 / 余\nResidue | 乘率 / 用数\nMultiplier |
|---|---|---|---|
| 商 | trial root | 当前试商 | 常为正 |
| 实 | constant term | 被消去的积 | 常为负 |
| 从 | linear coefficient | 随商更新 | 常为正 |
| 益 | higher coefficients | 廉隅递推 | 常为负 |
正负开方法
正负开方术的要点，是把“商、实、方、廉、隅”放进同一个递推过程。每次试商后，正项和负项互相抵消，剩下的新实数继续开。现代读法可以把它看作霍纳式综合除法和数值求根的古代筹算版。
尖田题最后得到田积八百四十步，为什么不是直接套几何公式？
原题给的是两大斜、两小斜和中广。秦九韶先把这些边长转成一组关于“积”的三乘方，再用正负开方术逐位试商，最后得 840。这里的关键不是背结果，而是看他怎样用系数递推逼出根。
問：沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百歩，欲知爲田幾何？
荅曰：田積三百一十五頃。
術曰：以少廣求之，以小斜羃併大斜羃，減中斜羃，餘半之，自乘於上，以小斜羃乘大斜羃，減上，餘四約之爲實，一爲從隅，開平方，得積。
草曰：以小斜一十三里自乘，得一百六十九里，爲小斜羃，以大斜一十五里自乘，得二百二十五里，爲大斜羃，併小斜羃得三百九十四里於上。以中斜一十四里自乘，得一百九十六里，爲中斜羃，減上，餘一百九十八里，以半之，得九十九里，自乘得九千八百一里於上。以小斜羃一百六十九乘大斜羃二百二十五，得三萬八千二十五，減上，餘二萬八千二百二十四，以四約之，得七千五十六里，爲實，以一爲隅，開平方，以隅超步爲一百，乃於實上商置八十，以商生隅，得八百，爲從方，乃命上商除實，餘六百五十六。又以商生隅入方，得數退一位爲一百六十，隅退二位爲一，乃於實上續商四里生隅，入從方內，得一百六十四。乃命續商除實，適盡，所得八十四里，爲田積。其形長八十四里，廣一里，以里法三百步自乘，得九萬歩，乘十四里得七百五十六萬步，以畝法二百四十除之，得三萬一千五百畝。
又以頃法一百畝約之，得三百一十五頃〇。
問：蕉葉田一段，中長五百七十六步，中廣三十四步，不知其周，求積畝合幾何？
荅曰：田積四十五畝一角十一步。
術曰：以長併廣，再自乘，又十乘之，爲實，半廣半長，各自乘，所得相減，餘爲從方，一爲從隅，開平方，半之，得積。
草曰：以長五百七十六步，併廣三十四步，得六百一十，以兩度自乘，得二億二千六百九十八萬一千步，進一位卽是，以十乘之，得二十二億六千九百八十一萬步，定得此數，以爲實。置長五百七十六，以半之，得二百八十八，自乘得八萬二千九百四十四，於上。又置廣三十四步，以半之，得一十七，自乘得二百八十九，減上，餘八萬二千六百五十五，爲從方，以一爲從隅，開平方，得二萬一千七十二歩，不盡一萬隅入方，又併隅算，共得一十二萬六千一百四十，爲母與不盡及開方田積數，皆半之。
田積定得一萬八百七十一步六萬三千七十分步之五千二百一十三，以畝法二百四十約之，得四十五畝一角一十一步六萬三千七十分步之五千二百一十三。〇。
鄒安鬯曰：術解見札記。
六萬三千七十分步之五千二百一十三。
百四四百二十六步，以商生。
鄒安鬯日：此條荅數及草，多誤，見札記。
沙田、蕉叶田为什么也放在同一讲？
它们都把复杂田形转成“先造实与从方，再开方”的流程。尖田展示三乘方，沙田与蕉叶田展示平方层面的同一筹算语法；合读时能看出正负开方术不是孤立公式，而是一整套方程数值解法。