内容 1874 不可数性 · 02
1874 论文入口
Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Journal fuer die reine und angewandte Mathematik 77, 1874, 258-262。
可数 的核心不是有限，而是对象能否和自然数建立一一对应。
命题
Rational numbers can be enumerated even though they are dense on the line.
有理数在线上稠密，但仍然可以逐个列出。
读法 现代白话辅助
这一步先拆掉一个常见直觉：稠密不等于不可数。分数在任意小区间里都有无限多个，但只要按分子分母的高度分层，跳过重复项，就能排成一个序列。
有理数分层列举 table
层级 | 候选分数 | 读法 |
|---|---|---|
| 1 | 0/1, 1/1, -1/1 | 先放最小高度 |
| 2 | 1/2, -1/2, 2/1, -2/1 | 再放分子分母和较小者 |
| 3 | 1/3, 2/3, -1/3, -2/3 | 跳过已约分重复项 |
表格只示意枚举策略，不要求固定唯一顺序。
分步证明Step-by-step proof
1 / 4把每个有理数写成既约分数 p/q，其中 q 为正整数。
按 |p| + q 的大小分层，每层只有有限多个候选。
依次扫过所有层，并跳过重复表示。
每个有理数都会在某一层出现，因此有理数可数。
互链 context
与戴德金切割 dedekind-cuts/overview、希尔伯特公理化 hilbert-grundlagen/overview、基础危机专题 math-meta/topic-foundations-crisis 和公理化运动专题 math-meta/topic-axiomatic-movement-deepening 对读。
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