内容 1891 对角线 · 07
1891 论文的现代读法
1891 论文可用现代语言改写为：任一集合 A 的幂集 P(A) 都比 A 严格更大。
幂集 P(A) 是 A 的所有子集组成的集合。
命题
For every set A, its power set has strictly greater cardinality than A.
对任何集合 A，它的幂集都具有严格更大的基数。
读法 现代白话辅助
把函数 f: A -> P(A) 想成给每个元素分配一个子集。构造 D = {x in A: x notin f(x)}，它和每个 f(a) 都在 a 这个点上不同。
对角子集 D worked example
题
若 a 属于 f(a)，D 里是否放 a？
解
不放。D 的定义正好反着来：a 属于 D 当且仅当 a 不属于 f(a)。这保证 D 和 f(a) 在元素 a 上不同。
分步证明Step-by-step proof
1 / 4假设存在满射 f: A -> P(A)。
定义对角子集 D：那些不属于自己对应子集 f(x) 的 x。
若 D = f(a)，检查 a 是否属于 D 会得到矛盾。
因此没有满射 A -> P(A)，幂集严格大于原集合。
互链 context
与戴德金切割 dedekind-cuts/overview、希尔伯特公理化 hilbert-grundlagen/overview、基础危机专题 math-meta/topic-foundations-crisis 和公理化运动专题 math-meta/topic-axiomatic-movement-deepening 对读。
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