内容 1874 不可数性 · 05
1874 论文推论
康托尔把代数数可数和实数不可数合在一起，得到超越数存在的非构造性证明。
超越数 是不是任何非零整系数多项式根的实数。
命题
Transcendental numbers must exist because the algebraic numbers cannot fill the real line.
超越数必然存在，因为代数数填不满实数线。
读法 现代白话辅助
刘维尔 1851 年已经构造具体超越数。康托尔的不同在于，他不需要先写出一个特殊数，而是通过集合大小证明：实数太多，代数数太少。
刘维尔对照 context
刘维尔证明给出一个可见样本；康托尔证明给出规模判断。前者回答“这里有一个”，后者回答“不可数多地存在”。
分步证明Step-by-step proof
1 / 4代数数集合可数。
任意实区间不可数。
若所有实数都是代数数，实数也应可数，这与不可数性矛盾。
因此存在非代数实数，也就是超越数。
互链 context
与戴德金切割 dedekind-cuts/overview、希尔伯特公理化 hilbert-grundlagen/overview、基础危机专题 math-meta/topic-foundations-crisis 和公理化运动专题 math-meta/topic-axiomatic-movement-deepening 对读。
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