内容 1874 不可数性 · 03
1874 论文入口
康托尔先把整系数多项式按次数和系数大小分层，再利用每个非零多项式只有有限多个根。
代数数 是某个非零整系数多项式的根。
命题
All algebraic real numbers form a countable set.
所有实代数数构成一个可数集合。
读法 现代白话辅助
证明的关键是两层有限性：固定复杂度的整系数多项式只有有限多个；每个多项式的实根也只有有限多个。有限层层相加，就得到可数列举。
按高度列出多项式 worked example
题
为什么 x^2 - 2 和 3x - 1 会出现在某个有限层里？
解
给多项式定义一个高度，例如次数加系数绝对值总和。每个具体多项式高度有限，因此一定在某一层出现；每层只含有限多个整系数多项式。
分步证明Step-by-step proof
1 / 4给整系数多项式规定一个高度，例如次数与系数绝对值总和。
固定高度时，可能的多项式只有有限多个。
每个非零 n 次多项式最多有 n 个实根。
把所有层依次列出，收集根并跳过重复项，实代数数可数。
互链 context
与戴德金切割 dedekind-cuts/overview、希尔伯特公理化 hilbert-grundlagen/overview、基础危机专题 math-meta/topic-foundations-crisis 和公理化运动专题 math-meta/topic-axiomatic-movement-deepening 对读。
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