内容 1891 对角线 · 08
1891 论文后果
对角线方法不仅证明连续统不可数，也给出从任意集合继续生成更大集合的通法。
基数层级 的读法是从 A 到 P(A) 再到 P(P(A))，不断得到更大的势。
命题
There is no largest infinity in Cantor's sense.
在康托尔意义下，不存在最大的无限。
读法 现代白话辅助
一旦接受幂集严格更大，就不能再把“无限”当成一个统一大小。自然数、实数、实数子集的集合，依次进入越来越大的层级。
基数上升 table
对象 | 现代记号 | 读法 |
|---|---|---|
| 自然数 | N | 可数无限 |
| 自然数的幂集 | P(N) | 与二值序列等势 |
| 再取幂集 | P(P(N)) | 严格更大 |
表格用现代记号说明 1891 思路的后续力量。
分步证明Step-by-step proof
1 / 4从任意集合 A 出发。
取幂集 P(A)，得到严格更大的集合。
再对 P(A) 取幂集，继续得到更大层级。
因此无穷基数没有最后一层。
互链 context
与戴德金切割 dedekind-cuts/overview、希尔伯特公理化 hilbert-grundlagen/overview、基础危机专题 math-meta/topic-foundations-crisis 和公理化运动专题 math-meta/topic-axiomatic-movement-deepening 对读。
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