内容 1874 不可数性 · 04
1874 论文入口
1874 年证明不是后来最常见的对角线证明，而是用嵌套区间避开给定序列。
区间套证明 的目标是给定任意实数列，构造一个不在其中的实数。
命题
No sequence can exhaust all real numbers in an interval.
没有一个序列能穷尽一个区间里的所有实数。
读法 现代白话辅助
康托尔从一个假设清单出发，逐步选更小闭区间，让第 n 步的区间避开清单中的第 n 个数。闭区间一层套一层，最后留下的点没有出现在原清单里。
Nested intervals keep one interval inside the previous one.
区间套每一步把候选点逼进更小的闭区间。
避开前三个数 worked example
题
若清单前三项是 r1, r2, r3，怎样让新区间依次避开它们？
解
先在原区间内选一个闭子区间不含 r1；再在其中选更小闭子区间不含 r2；第三步再避开 r3。只要每步留出非空闭区间，最后候选点就不可能等于任意 rn。
分步证明Step-by-step proof
1 / 4假设某个实数列 r1, r2, r3, ... 已列出区间内所有实数。
第 1 步选一个闭子区间避开 r1。
第 n 步在前一区间内部选更小闭区间，避开 rn。
嵌套区间留下的点不等于任何 rn，因此原清单不完整。
互链 context
与戴德金切割 dedekind-cuts/overview、希尔伯特公理化 hilbert-grundlagen/overview、基础危机专题 math-meta/topic-foundations-crisis 和公理化运动专题 math-meta/topic-axiomatic-movement-deepening 对读。
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