灯下 · 几何原本 · 第9卷命题 25 · 偶数减奇数余为奇数

内容第9卷 · 266

命题 Propositio IX.25

If from an even number an odd number be subtracted, the remainder will be odd.

若从一偶数减去一奇数，则余数必为奇数。

fig-1

偶数 AB 减去奇数 BC：将 BC 中分出单位 CD，则 BD 为偶数；AB - BD = AD 为偶数（IX.24）；CD 为单位，故 CA 为奇数。

点

线

正文图形由校订坐标生成；点、线、角、圆可与证明和问答联动。

分步证明Step-by-step proof

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For from the even number AB let the odd number BC be subtracted; I say that the remainder CA is odd.
设偶数为AB，奇数为BC，从AB减去BC，余CA。
For let the unit CD be subtracted from BC; therefore DB is even.
从BC减去单位CD，则DB为偶数（根据第七卷定义7）。
[VII. Def. 7] But AB is also even; therefore the remainder AD is also even.
因AB为偶数，故AD为偶数（根据第九卷命题24）。
但CD为单位，故CA为奇数（因AD为偶数，加单位得奇数）。

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