灯下 · 几何原本 · 第9卷命题 27

内容第9卷 · 268

命题 Propositio IX.27

If from an odd number an even number be subtracted, the remainder will be odd.

如果从一个奇数中减去一个偶数，则余数必为奇数。

fig-1

奇数 AB 减去偶数 BC：从 AB 取出单位 AD，则 DB 为偶；DB - BC = CD 为偶（IX.24）；故 CA = 单位 AD + 偶数 CD = 奇数。

点

线

正文图形由校订坐标生成；点、线、角、圆可与证明和问答联动。

分步证明Step-by-step proof

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For from the odd number AB let the even number BC be subtracted; I say that the remainder CA is odd.
设奇数AB减去偶数BC，余数为CA。
Let the unit AD be subtracted; therefore DB is even.
从AB中减去单位AD，则DB为偶数（根据第七卷定义7）。
[VII. Def. 7] But BC is also even; therefore the remainder CD is even.
又BC为偶数，故余数CD为偶数（根据第九卷命题24）。
因此CA是奇数，因为它是奇数AB减去单位AD和偶数CD所得，而奇数减去单位得偶数，再减偶数得奇数。

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